내적의 증명 (제1코사인법칙, 제2코사인법칙)

우선 제1코사인법칙은 아래와 같다.

위처럼 선을 그어 직각삼각형 2개를 만들면 b의 길이는 밑변 2개의 합이 된다.

왼쪽변의 길이는 삼각함수의 정의에 의해 c cosA가 되고 오른쪽은 a cosC가 된다.

즉 b = c cosA + a cosC가 되는것.

 

 

제2코사인법칙은

a² = b²+c²-2bc cosA 인데

제1코사인법칙을 통해 유도할 수 있다.

 

제1코사인법칙의 각 식의 양변에 차례로 a, b, c를 곱하면
a² = ab cosC + ac cosB ······ ①
b² = bc cosA + ba cosC ······ ②
c² = ca cosB + cb cosA ······ ③이므로
② + ③ - ①을 계산하면 b² + c² - a² = 2bc cosA이 되고 넘겨서 정리하면 위의 식이 나온다.

 

 

내적의 증명

위처럼 a-b벡터를 그리면 삼각형을 만들 수 있으므로

분배법칙과 제2코사인법칙을 통해 벡터의 내적을 증명할 수 있다.

 

마찬가지로 a는 (a1, a2, a3), b는 (b1, b2, b3)로 가정하면

a-b는 (a1-b1, a2-b2, a3-b3)가 되고,

위의 제2코사인법칙 식에 대입하면 ab cosθ = a1b1 + a2b2 + a3b3를 유도할 수 있다.